Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang peubahnya merupakan merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.
Contoh : Tentukan semua x yang memenuhi persamaan 2log x = 3
Jawab :
Dari definisi logaritma kita dapatkan
2log x = 3 ⟺ 23= x
Jadi x = 23
Dengan cara lain kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama dengan bilangan pokok ruas kiri yaitu:
2log x = 3 ⟺ 2log x = 2log 23
Dari cara pertama diperoleh x = 23. Sehingga kita sesuikan dengan bentuk terakhir kita dapat menghapus tanda logaritma.
Secara umum kita hal diatas dapat dituliskan :
Jika alog f(x) = alog p dengan syarat a > 0 ; a ≠ 1 maka f(x) = p dengan syarat f(x) > 0
Jadi untuk menyelesaikan persamaan logaritma kita berusaha membuat bentuk ruas kanan dan ruas kiri dalam logaritma dengan bilangan pokok yang sama.
Contoh
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari
- 2log x + 2log (x + 1) = 2log 12
- 2log (x+1) = 4log (5x + 1)
Jawab :
- 2log x + 2log (x + 1) = 2log 12
2log x(x + 1) = 2log 12
x(x + 1) = 12
x2 + x - 12 = 0
(x + 4)(x - 3) = 0
x = -4 atau x = 3
Hasil ini harus diuji pada numerus bentuk-bentuk logaritma yaitu: 2log x dan 2log (x + 1)
Untuk x = -4 diperoleh 2log -4 dan 2log (-4 + 1) tidak terdefinisi
Untuk x = 3 diperoleh 2log 3 dan 2log (3 + 1) terdefinisi
Jadi himpunan penyelesaiannya {3}
Akan tetapi kalau soal mula-mula adalah :
2log x(x + 1) = 2log 12
Maka hasil x = -4 dan x = 3 merupakan penyelesaian, karena syarat numerus harus positif terpenuhi.
- Pada contoh ini bilangan pokok logaritma berbeda. Dengan sifat :
alog b = nlog b : nlog a maka ruas kanan dapat diubah sebagai berikut:
2log (x+1) = 4log (5x + 1)
2log (x+1) = 2log (5x + 1) : 2log 4
2log (x+1) = 2log (5x + 1) : 2
2log (x+1)2 = 2log (5x + 1)
(x+1)2 = (5x + 1)
x2 + 2x + 1 = (5x + 1)
x2- 3x = 0
Dengan cara memfaktokan diperoleh x = 0 atau x = 3
Karena keduanya memenuhi syarat numerus maka himpunan penyelesaiannya adalah {0, 3}
