Logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan

a^c = b → ^alog b = c dengan a > 0, a ≠ 1, dan b > 0

a = bilangan pokok
b = hasil pemangkatan
c = hasil logaritma

Logaritma dengan bilangan pokok 10, bilangan pokoknya tidak ditulis, misalnya

¹⁰log 3 ditulis log 3
¹⁰log 100 ditulis log 100
¹⁰log 0,1 ditulis log 0,1

Sifat-Sifat Logaritma

^a log a = 1

^a log aⁿ = n

^a log 1 = 0

^g log (a x b) = ^g log a + ^g log b

^a log b x ^b log c = ^a log c

Kelipatan dan Faktor

Kelipatan

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan tersebut dengan bilangan cacah. Misalnya :

Himpunan kelipatan 3 = { 3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, ...}
atau { 0, 3, 6, 9, ...}

Himpunan kelipatan 5= { 5 x 0, 5 x 1, 5 x 2, 5 x 3, ...}
atau { 0, 5, 10, 15, ...}

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

KPK dari dua buah bilangan atau lebih adalah bilangan bukan nol (0) yang merupakan anggota terkecil dari himpunan kelipatan persekutuan bilangan-bilangan itu.

Contoh : Tentukan KPK dari 5 dan 6!

Jawab :

Himpunan kelipatan 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
Himpunan kelipatan 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
Himpunan kelipatan persekutuan = {0, 30}

Jadi KPK dari 5 dan 6 = 30

Faktor

Faktor adalah bilangan asli yang membagi habis suatu bilangan.

Contoh :

Faktor dari 9 adalah 1, 3 dan 9.
Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, dan 20.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

FPB dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan terbesar dari faktor-faktor persekutuan bilangan-bilangan itu.

Contoh : Tentukan FPB dari 6 dan 12

Jawab :

Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6}
Faktor dari 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Jadi FPB dari 6 dan 12 = 6

Deret Geometri Tak Hingga

Misalkan selembar kertas berbentuk segiempat dibagi menjadi 2 dan salah satu bagiannya dibagi lagi menjadi 2 bagian. Bagian ini dibagi lagi menjadi 2 dan begitu seterusnya seperti gambar berikut ini:

Secara teoritis pembagian ini dapat dilakukan berulang kali sampai tak hingga kali. Pada pembagian pertama diperoleh setengah bagian, yang kedua seperempat bagian, yang ketiga seperdelapan bagian dan seterusnya sampai tak hingga kali. Tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagian sampai tak hingga kali tetap = kertas semula (1 bagian). Hasil ini dapat dituliskan:

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya (n) tak hingga. Kita telah mengetahui bahwa untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus:

Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk n → ∞ sebagai berikut:

1. Untuk r > 1 atau r < -1 Oleh karena r > 1 atau r < -1 maka nilai rⁿ akan semakin besar jika n makin besar. Dalam hal ini,
   Untuk r > 1 dan n → ∞ maka rⁿ→ ∞
   Untuk r < -1 dan n → ∞ maka rⁿ→ -∞.
   Sehingga diperoleh
   
   
   
   Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 disebut deret divergen (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecendrungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu deret ini tidah memilik limit jumlah
2. Untuk -1 <>n akan semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini untuk n → ∞ maka rⁿ→ 0. Sehingga diperoleh
   
   
   
   Deret geometri tak hingga dengan -1 <>

Contoh

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut.

Berdasarkan deret tersebut dapat kita ketahui a = 2 dan r = 1/3. Dengan demikian,

Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 3

Deret Geometri

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan geometri maka penjumlahan

U₁ + U₂+ U₃ + ...+ U_n merupakan deret geometri.

Secara umum, dari suatu barisan geometri U₁, U₂, U₃, ..., U_n dengan U₁= a da rasio = r, kita dapat memperoleh bentuk umum penjumlahan deret geometri, yaitu
S_n = U₁ + U₂+ U₃ + ...+ U_n = a + ar + ar² + ... + ar^n-1

Untuk mendapatkan rumus n jumalah suku pertama dari deret geometri kita kalikan persamaan diatas dengan r, maka akan muncul persamaan baru:

(S_n . r) = ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ

Selanjutnya kita eliminasi kedua persamaan tersebut dengan mengurangkannya:

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^n-1

(S_n . r) = ar + ar² + ... + ar^n-1+ arⁿ -

---

S_n - (S_n . r) = a - arⁿ

S_n (1 - r) = a (1- rⁿ)

Jadi rumus n suku pertama deret geometri adalah:

a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku

Pada deret geometri juga berlaku sifat:

U_n= S_n - S_n-1

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan barisan aritmatika. Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika maka penjumlahan U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret aritmatika.

Rumus jumlah n suku pertama pada deret aritmatika

S₁₀ = 20 + 30 + 40 + ... + 90 + 100 + 110

S₁₀ = 110 + 100 + 90 + ... + 40 + 30 + 20 ₊

---

2S₁₀ = 130 + 130 + 130 + ... + 130 + 130 + 130

2S₁₀ = 10 x 130

2S₁₀ = 10 x ( 20 + 110 )

S₁₀ = 1/2 x 10 x ( 20 + 110 )

Kita dapat melihat angka 10 didapat dari banyaknya suku (n), 130 didapat dari penjumlahan suku awal (a) dan suku akhir (U_n). Maka diperoleh:

S_n = 1/2 n (a + U_n)

Karena U_n = a + (n-1)b, maka

S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

Dari pengertian n suku pertama barisan aritmatika didapat sifat berikut :

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1 + U_n

S_n-1 = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n-1 +

---

S_n - S_n-1 = U_n

U_n = S_n - S_n-1

Jika U_n adalah suku ke n barisan aritmatika dan S_n adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika maka berlaku sifat

U_n = S_n - S_n-1

Contoh 1

Diketahui deret aritmatika : 5 + 11 + 17 + 23 + ...
a. Tentukan rumus jumlah n suku pertamanya
b. Hitung jumlah 30 suku pertama

a. S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

= 1/2 n (2(5) + (n-1)6)

= 5n + (n-1)3n

= 5n + 3n² - 3n

Jadi S_n = 3n² + 2n

b. S₃₀ = 3(30)² + 2(30) = 2760

Contoh 2:

Hitunglah 3 + 8 + 13 + ... + 98

Jawab:

a = 3, b = 5, Un = 98

Un = a + (n - 1)b

98 = 3 + (n - 1)5

98 = 3 + 5n - 5

5n = 100

n = 20

Jumlah deret itu adalah S₂₀ = 1/2. 20 (3 + 98) = 1110

Bilangan Cacah

Pengertian

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan bilangan cacah :

C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}

Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :

1. Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, ...}
2. Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
3. Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
4. Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
5. Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
6. Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}

Operasi pada bilangan cacah

1. Penjumlahan
   • komutatif : a + b = b + a
   • asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
   • unsur identitas (netral) adalah nol (0)
   • sifat tertutup pada penjumlahan
     Penjumlahan dua atau lebih bilangan cacah selalu menghasilkan bilangan cacah
2. Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan a - b = c, sama artinya dengan b + c = a.
3. Perkalian
   • komutatif : a x b = b x a
   • asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
   • distributif :
     a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
     a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
   • unsur identitas perkalian adalah satu (1)
     a x 1 = a
     b x 1 = b
   • semua bilangan cacah dikalikan dengan nol (0), hasilnya nol (0)
     a x 0 = 0
     b x 0 = 0
   • sifat tertutup perkalian
     semua perkalian bilangan cacah menghasilkan bilangan cacah juga.
4. Pembagian
   • Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian
     a : b = c ⟹ b x c = a
   • 0 dibagi dengan bilangan cacah (kecuali 0), hasilnya nol (0)
   • pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.

Barisan Geometri

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n suatu barisan bilangan. Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri apabila memenuhi

r adalah rasio atau pembanding. Dibawah ini adalah beberapa contoh dari barisan geometri.

1. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... maka rasio = 4/2 = 8/4 = 16/8 dan seterusnya
2. 27, 9, 3, 1, 1/3, ... maka rasio = 27/9 = 9/3 = 3/1 dan seterusnya

Rumus suku ke- n barisan geometri

Jika diketahui suatu barisan bilangan geometri U₁, U₂, U₃, ..., U_n, dan U₁= a dengan rasionya r maka kita dapat menuliskan:

U₁= a

U₂= U₁.r = a.r = ar^2-1

U₃= U₂.r = (ar).r = ar^3-1

U₄= U₃.r = (ar²).r = ar^4-1

U_n= ar^n-1

Jadi rumus umum suku ke- n barisan geometri adalah

U_n= ar^n-1

Suku tengah barisan geometri

Perhatikan barisan geometri berikut

a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶

Bila diambil 3 suku saja yaitu a, ar, ar². Maka Ut = ar, U₁ = a, U_n = ar²
U₁.U_n= a²r², maka Ut = akar a²r²

Bila diambil 5 suku maka Ut = ar², U₁ = a, U_n = ar⁴
U₁.U_n= a²r⁴, maka Ut = akar a²r⁴. Bagitu juga seterusnya.

Sehingga bila diambil n suku maka

dan suku tengah tersebut terletak pada urutan ke 1/2 (n + 1)

Sisipan barisan geometri

Misalkan U₁, U₂ adalah dua suku berurutan dari suatu barisa geometri dengan rasio r. Diantara U₁ dan U₂ disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri baru dengan rasio r', maka barisan baru yang terbentuk adalah

U₁, U₁.r', U₁.r'², ..., U₁.r'^k, U₂

Perbandingan antara dua suku yang berurutan tetap = r' maka

Barisan dan Deret

1. Barisan Aritmatika
   Suatu barisan dikatakan barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut sebagai beda (b)
   Rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika:
   U_n = a + (n-1)b
   
   
2. Deret Aritmatika
   Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika maka penjumlahan U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n adalah deret aritmatika.
   Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika:
   

   S_n = 1/2 n (a + U_n) atau S_n = 1/2 n (2a + (n-1) b)

3. Barisan Geometri
   Suatu barisan dikatakan barisan geometri apabila perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (perbandingan) tetap tersebut sebagai rasio (r)
   Rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri:
   U_n= ar^n-1
   
   
4. Deret Geometri
   Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan geometri maka penjumlahan U₁ + U₂+ U₃ + ...+ U_n merupakan deret geometri.
   Rumus jumlah n suku pertama deret geometri:
   
   
   
   
   
   
5. Deret Geometri Tak Hingga
   Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yag banyak sukunya tak hingga.
   
   Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 adalah deret divergen. Deret ini tidak memiliki limit jumlah. Deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 adalah deret geometri konvergen. Deret ini memiliki limit jumlah dengan rumus:
   
   

Barisan Aritmatika

Suatu barisan dikatakan barisan aritmatika bila selisih antara dua suku yang berutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut beda (b).
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!

Diantara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmatika!

a. 1, 5, 9, 13, ...
b. 2, 4, 8, 16, ...
c. 25, 22, 19, 16, ...

Untuk menentukan apakah barisan bilangan itu merupakan barisan aritmatika atau bukan, kita harus menentukan beda setiap suku berurutan. Barisan aritmatika selalu mempunyai beda yang sama.

a. Beda antara dua suku yang berurutan adalah 5-1=4, 9-5=4, 13-9=4. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang tetap = 4

b. Beda antara suku yang berurutan adalah 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8. Barisan ini bukan merupakan barisan aritmatika karena tidak mempunyai beda yang tetap.

c. Beda antara suku yang berurutan adalah 22-25=-3, 19-22=-3, 16-19. Barisan ini merupakan barisan aritmatika karena mempunyai beda yang sama yaitu -3.

Menentukan suku ke-n dari barisan aritmatika

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n adalah barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b maka kita dapat menulis:

U₁ = a
U₂ = U₁ + b = a + b
U₃ = U₂ + b = a + b + b = a + 2b = a + (3-1)b
U₄ = U₃ + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4-1)b

U_n = a + (n-1)b

Contoh

Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15, ...
a. Tentukan rumus suku ke n dari barisan tersebut.
b. Suku ke 10 dari barisan tersebut.

a. 3, 7, 11, 15, ...
Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 3 dan beda barisan b = 7-3 = 4. Dengan demikian, suku ke n dari barisan tersebut adalah

U_n = a + (n-1)b

U_n = 4 + (n-1)4

U_n = 4n -1

Jadi, rumus suku ke n dari barisan tersebut adalah U_n = 4n -1

b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh U_n = 4n -1. Dengan demikian,

U₁₀ = 4(10) -1 = 40 - 1 = 39

Jadi, suku ke 10 dari barisan tersebut adalah 39

Suku tengah barisan aritmatika

Suatu barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjildan lebih dari satu, tentu memiliki suku tengah (Ut). Suku tengah ini memiliki hubungan yang khas sebagai beriku:

Perhatikan barisan aritmatika:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

Jika diambil tiga suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7. Maka Ut = 4, U₁=1, U_n= 7, berlaku hubungan:

Jika diambil lima suku barisan pertama yaitu : 1, 4, 7, 10, 13. Maka Ut = 7, U₁=1, U_n= 13, berlaku hubungan:

Demikian seterusnya jika diambil n suku ganjil maka berlaku hubungan :

Sisipan Barisan Aritmatika

Bila diketahui dua suku barisan aritmatika adalah x dan y. Diantara x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru dengan beda b'. Maka barisan aritmatika tersebut dapat ditulis :

x, x + b', x + 2b', x + 3b', .... , x + kb', y (disisipkan sebanyak k)

Banyak sukunya menjadi k + 2

Selisih dua suku berurutan tetap. Maka berlaku :

(x + b') - x = y - (x + kb')

b' = y - x - kb'

kb' + b' = y - x

(k+1)b' = y - x

Karena y - x adalah beda mula-mula = b maka

Contoh :

Diantara tiap dua suku berurutan dari barisan 2, 11, 20 disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan baru tersebut!

Jawab :

Beda barisan semula (b) = 9 dan banyak bilangan yang disisipkan (k) = 2

Maka barisan yang terbentuk adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20