Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang peubahnya merupakan merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.

Contoh : Tentukan semua x yang memenuhi persamaan ²log x = 3

Jawab :

Dari definisi logaritma kita dapatkan
²log x = 3 ⟺ 2³= x
Jadi x = 2³

Dengan cara lain kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama dengan bilangan pokok ruas kiri yaitu:

²log x = 3 ⟺ ²log x = ²log 2³

Dari cara pertama diperoleh x = 2³. Sehingga kita sesuikan dengan bentuk terakhir kita dapat menghapus tanda logaritma.

Secara umum kita hal diatas dapat dituliskan :

Jika ^alog f(x) = ^alog p dengan syarat a > 0 ; a ≠ 1 maka f(x) = p dengan syarat f(x) > 0

Jadi untuk menyelesaikan persamaan logaritma kita berusaha membuat bentuk ruas kanan dan ruas kiri dalam logaritma dengan bilangan pokok yang sama.

Contoh

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari

1. ²log x + ²log (x + 1) = ²log 12
2. ²log (x+1) = ⁴log (5x + 1)

Jawab :

1. ²log x + ²log (x + 1) = ²log 12
   ²log x(x + 1) = ²log 12
   x(x + 1) = 12
   x² + x - 12 = 0
   (x + 4)(x - 3) = 0
   x = -4 atau x = 3
   
   Hasil ini harus diuji pada numerus bentuk-bentuk logaritma yaitu: ²log x dan ²log (x + 1)
   
   Untuk x = -4 diperoleh ²log -4 dan ²log (-4 + 1) tidak terdefinisi
   Untuk x = 3 diperoleh ²log 3 dan ²log (3 + 1) terdefinisi
   
   Jadi himpunan penyelesaiannya {3}
   
   Akan tetapi kalau soal mula-mula adalah :
   ²log x(x + 1) = ²log 12
   
   Maka hasil x = -4 dan x = 3 merupakan penyelesaian, karena syarat numerus harus positif terpenuhi.
   
2. Pada contoh ini bilangan pokok logaritma berbeda. Dengan sifat :
   ^alog b = ⁿlog b : ⁿlog a maka ruas kanan dapat diubah sebagai berikut:
   
   ²log (x+1) = ⁴log (5x + 1)
   ²log (x+1) = ²log (5x + 1) : ²log 4
   ²log (x+1) = ²log (5x + 1) : 2
   ²log (x+1)² = ²log (5x + 1)
   (x+1)² = (5x + 1)
   x² + 2x + 1 = (5x + 1)
   x²- 3x = 0
   Dengan cara memfaktokan diperoleh x = 0 atau x = 3
   
   Karena keduanya memenuhi syarat numerus maka himpunan penyelesaiannya adalah {0, 3}

Persamaan Kuadrat

Perhatikan beberapa persamaan berikut ini:

1. x² - 4 = 0
2. x² - 16x = 0
3. x² - 7x + 12 = 0
4. 2x² - 3x + 1 = 0

Pada setiap persamaan diatas, hanya memuat bentuk x² sebagai variabel pangkat yang paling tinggi. Bentuk persamaan seperti itu dinamakan persamaan kuadrat dalam x atau persamaan berderajat dua dalam peubah / variabel x. Dengan demikian persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk umum yaitu:

ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c, ∈ R dan a ≠ 0

a disebut koefisien x², b koefisien x dan c merupakan konstanta.

Sebagai contoh perhatikan persamaan kuadrat di bawah ini:

• x² - 4 = 0 ; a = 1, b = 0, c = -4
• x² - 16x = 0 ; a = 1, b = 16, c = 0
• x² - 7x + 12 = 0 ; a = 1, b = -7, c = 12
• 2x² - 3x + 1 = 0 ; a = 2, b = -3, c = 1

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat peubah. Contoh :
4^x - 2^x - 6 = 0
2^3x-2 = 128

Persamaan eksponen berbentuk a^p = a^q

Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan a^p = a^q maka p = q

Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

1. 2^3x-2 = 128
2. 5^{x2 + 6x - 42} = 3125 ^{12 - x}
3. 4^2x - 18^x + 4 = 0

Jawab :

1. 2^3x-2 = 128
   2^3x-2 = 2⁷
   3x - 2 = 7
   3x = 9
   x = 3
   
2. 5^{x2 + 6x - 42} = 3125 ^{12 - x}
   5^{x2 + 6x - 42} = 5^{5(12 - x)}
   x² + 6x - 42 = 5(12 - x)
   x² + 6x - 42 = 60 - 5x
   x² + 11x - 102 = 0
   (x + 17)(x - 6) = 0
   x = -17 atau x = 6
   
3. 4^2x - 18^x + 4 = 0
   Untuk menyelesaikan persamaan diatas kita misalkan a = 2^x sehingga :
   4^2x - 18^x + 4 = 0
   2.2^2x - 9.2 ^x + 4 = 0
   2.(2^x)² - 9.2^x + 4 = 0
   2a² - 9a + 4 = 0
   (2a - 1)(a - 4) = 0
   a = ½ atau a = 4
   
   Untuk a = ½
   2^x = ½
   2^x = 2^-1
   x = -1
   
   Untuk a = 4
   2^x = 4
   2^x = 2²
   x = 2
   
   Jadi Hp = {-1, 2}
   

Persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b ^f(x)

Bilangan pokok ruas kiri tidak sama dengan bilangan pokok ruas kanan, sedangkan pangkat ruas kiri sama dengan pangkat ruas kanan. Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan jika pangkatnya nol (0).

Jika a^f(x) = b ^f(x) maka f(x) = 0
dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

Contoh : Carilah semua x yang memenuhi 25.5 ^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}

Jawab :

25.5^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}
5². 5^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}
5^{2x - 5 +2} = 3 ^{2x - 3}
5^{2x - 3} = 3^{2x - 3}
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Persamaan eksponen berbentuk (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus melihat semua kemungkinan yaitu :

• Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
• Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))^g(x) ≠ 0. Maka kita dapat membagi kedua ruas dengan (h(x))^g(x) sehingga menjadi:
  (h(x))^f(x) : (h(x))^g(x) = (h(x))^g(x) : (h(x))^g(x)
  (h(x))^{f(x) - g(x)} = 1
  Dari bentuk terakhir ini dapat dipenui kemungkinan berikut
  • Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
  • Jika h(x) = -1 maka f(x) - g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) - g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  • Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Dengan demikian dapat disimpulkan :

Penyelesaian persamaan (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x) adalah semua x yang memenuhi persamaan:

1. h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
2. h(x) = 1
3. h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
4. h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x - 5)^{x2 - 4} = (x - 5)^{2 - x}

Jawab :

1. h(x) = 0 ⟺ x - 5 = 0 ⟺ x = 5
   Syarat x² - 4 > 0 dan 2 - x > 0
   
   Substitusikan x - 5
   5² - 4 > 0 dan 2 - 5 > 0 (tidak memenuhi)
   Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.
   
2. h(x) = 1 ⟺ x - 5 = 1 ⟺ x = 6
   Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.
   
3. h(x) = -1 ⟺ x - 5 = -1 ⟺ x = 4
   
   Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
   4² - 4 = genap dan 2 - 4 = genap
   Karena keduanya genap maka x - 4 merupakan himpuna penyeelesaian.
   
4. f(x) = g(x) ⟺ x² - 4 = 2 - x
   ⟺ x² + x - 6 = 0
   ⟺ (x + 3)(x - 2) = 0
   ⟺ x = -3 atau x = 2
   Setelah disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
   Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah {-3, 2, 4, 6}

Rumus Perkalian Sinus da Kosinus

2 sin a . cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a . sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
-2 cos a . cos b = cos (a + b) - cos (a - b)

Pembuktian:

Kita sudah tahu bahwa rumus jumlah dan selisih dua sudut yaitu :

1. sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
2. sin (a - b) = sin a . cos b - cos a . sin b
3. cos (a + b) = cos a . cos b - sin a . sin b
4. cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b

Dari rumus 1 dan 2 diperoleh :

sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
sin (a - b) = sin a . cos b - cos a . sin b +

---

sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a . cos b

Jadi diperoleh rumus 2 sin a . cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
sin (a - b) = sin a . cos b - cos a . sin b -

---

sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos a . sin b

Jadi diperoleh rumus 2 cos a . sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

Dari rumus 3 dan 4 diperoleh :

cos (a + b) = cos a . cos b - sin a . sin b
cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b +

---

cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a . cos b

Jadi diperoleh rumus 2 cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

cos (a + b) = cos a . cos b - sin a . sin b
cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b -

---

cos (a + b) - cos (a - b) = -2 cos a . cos b

Jadi diperoleh rumus -2 cos a . cos b = cos (a + b) - cos (a - b)

Menyusun persamaan kuadrat

Kita ketahui bahwa salah satu cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan memfaktorkan. Jika kita balik mengerjakannya dari akhir dan misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah x₁ dan q maka :

x₁ atau x₂
x - x₁ = 0 atau x - x₂ = 0
(x - x₁) (x - x₂) = 0
x² - (x₁.x) - (x_2.x) + (x₁.x₂) = 0
x² - (x₁.x + x₂.x) + (x₁.x₂) = 0
x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

Jadi kita dapat menyusun persamaan kuadrat bila akar-akarnya diketahui x₁ dan x₂ dengan rumus:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

Berdasarkan bentuk persamaan kuadrat :

sehingga diperoleh rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat yaitu :

Contoh 1

Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya 4 dan -1!

Jawab :

Diketahui x₁= 4 dan x₂= -1
x₁+ x₂= 3
x₁+ x₂= -4

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0
x² - 3x - 4 = 0

Contoh 2

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar-akar
x² + 8x - 30 = 0

Jawab :

1. Cara I
   Misalkan salah satu akar persamanaan kuadrat yang baru adalah y, maka y = x - 3(akar baru tiga kurangnya dari akar sebelumnya), x = y + 3. Kita substitusikan nilai x = y + 3 ke dalam persamaan x² - 8x - 30 = 0 menjadi :
   (y + 3)² + 8 (y + 3) - 30 = 0
   y² + 14y + 3 = 0 , dalam bentuk x menjadi :
   x² + 14x + 3 = 0
   
2. Cara II
   Dari persamaan x² + 8x - 30 = 0 kita mendapat
   x₁ + x₂ = -8
   x₁.x₂ = -30
   
   Jumlah akar- akar yang baru adalah:
   =(x₁-3) + (x₂-3)
   = x₁ + x₂- 6
   = -8 -6
   = -14
   
   Hasil kali akar-akar yang baru adalah:
   = (x₁-3).(x₂-3)
   = x₁.x₂ - 3(x₁ + x₂) + 9
   = -30 - 3(-8) + 9
   = 3
   
   Jadi persamaan kuadrat baru adalah
   

   ⟹ x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0
   ⟹ x² + 14x + 3 = 0

Membentuk fungsi kuadrat

Kita dapat membentuk fungsi kuadrat dari unsur unsur fungsi kuadrat tersebut seperti pasangan titik, akar-akarnya, diskriminan, titik balik atau sumbu simetri.

1. Menentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik pada (p,q) dengan rumus :
   
   y = a (x - p)² + q
   
   Contoh :
   Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik P(1, 5) dan memotong sumbu x di titik (2, 0)
   
   Jawab :
   y = a (x - p)² + q
   y = a (x - 1)² + 5
   memotong sumbu x di (2,0)
   0 = a (2 - 1)² + 5
   0 = a . 1 + 5
   a = -5
   jadi fungsi kuadrat tersebut adalah :
   y = -5(x - 1+ 5
   y = -5(x ² - 2x +1) + 5
   y = -5x ² + 10x -5 + 5
   y = -5x ² + 10x
   
2. Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik potong sumbu x di (α, 0) dan (β, 0) dengan rumus :
   y = a(x - α)(x - β)
   Contoh :
   Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-3, 0) dan (2, 0) dan melalui titik (0, -6)
   Jawab :
   y = a(x - α)(x - β)
   y = a(x - (-3))(x - 2)
   y = a(x + 3)(x - 2)
   
   Melalui (0, -4) ⟹ -6 = a(0 +3)(0 - 2)
   -6 = a . 3 . -2
   -6 = -6a
   a = 1
   Jadi persamaannya:
   y = 1(x + 3)(x - 2)
   y = x² + x - 6
3. Mementukan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sembarang dengan rumus :
   y = ax² + bx + c
   
   Contoh :
   Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui (0,2), (2,0) dan (4,0)
   
   Jawab :
   y = ax² + bx + c
   
   melalui (0, 2)⟹ y = ax² + bx + c
   2 = 0 + 0 + c
   c = 2
   
   melalui (2, 0)⟹ y = ax² + bx + c
   0 = 4a + 2b + 2
   
   melalui (4, 0)⟹ y = ax² + bx + c
   0 = 16a + 4b + 2
   0 = 8a + 2b + 1
   
   Elminasi :
   0 = 8a + 2b + 1
   0 = 4a + 2b + 2 -

   ---

   0 = 4a - 1
   -4a = -1
   a = ¼
   
   Substitusi : a = ¼ maka didapat b = -3/2
   
   Jadi fungsi kuadrat itu :
   
   
   

Logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan

a^c = b → ^alog b = c dengan a > 0, a ≠ 1, dan b > 0

a = bilangan pokok
b = hasil pemangkatan
c = hasil logaritma

Logaritma dengan bilangan pokok 10, bilangan pokoknya tidak ditulis, misalnya

¹⁰log 3 ditulis log 3
¹⁰log 100 ditulis log 100
¹⁰log 0,1 ditulis log 0,1

Sifat-Sifat Logaritma

^a log a = 1

^a log aⁿ = n

^a log 1 = 0

^g log (a x b) = ^g log a + ^g log b

^a log b x ^b log c = ^a log c

Kelipatan dan Faktor

Kelipatan

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan tersebut dengan bilangan cacah. Misalnya :

Himpunan kelipatan 3 = { 3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, ...}
atau { 0, 3, 6, 9, ...}

Himpunan kelipatan 5= { 5 x 0, 5 x 1, 5 x 2, 5 x 3, ...}
atau { 0, 5, 10, 15, ...}

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

KPK dari dua buah bilangan atau lebih adalah bilangan bukan nol (0) yang merupakan anggota terkecil dari himpunan kelipatan persekutuan bilangan-bilangan itu.

Contoh : Tentukan KPK dari 5 dan 6!

Jawab :

Himpunan kelipatan 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
Himpunan kelipatan 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
Himpunan kelipatan persekutuan = {0, 30}

Jadi KPK dari 5 dan 6 = 30

Faktor

Faktor adalah bilangan asli yang membagi habis suatu bilangan.

Contoh :

Faktor dari 9 adalah 1, 3 dan 9.
Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, dan 20.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

FPB dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan terbesar dari faktor-faktor persekutuan bilangan-bilangan itu.

Contoh : Tentukan FPB dari 6 dan 12

Jawab :

Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6}
Faktor dari 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Jadi FPB dari 6 dan 12 = 6

Akar Persamaan Kuadrat

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah :

dan

Dari rumus diatas didapat:

1. Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat
   
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat