Jumat, 03 September 2010

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang peubahnya merupakan merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.

Contoh : Tentukan semua x yang memenuhi persamaan 2log x = 3

Jawab :

Dari definisi logaritma kita dapatkan
2log x = 3 ⟺ 23= x
Jadi x = 23

Dengan cara lain kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama dengan bilangan pokok ruas kiri yaitu:

2log x = 3 ⟺ 2log x = 2log 23

Dari cara pertama diperoleh x = 23. Sehingga kita sesuikan dengan bentuk terakhir kita dapat menghapus tanda logaritma.

Secara umum kita hal diatas dapat dituliskan :

Jika alog f(x) = alog p dengan syarat a > 0 ; a ≠ 1 maka f(x) = p dengan syarat f(x) > 0

Jadi untuk menyelesaikan persamaan logaritma kita berusaha membuat bentuk ruas kanan dan ruas kiri dalam logaritma dengan bilangan pokok yang sama.

Contoh

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari

  1. 2log x + 2log (x + 1) = 2log 12
  2. 2log (x+1) = 4log (5x + 1)

Jawab :

  1. 2log x + 2log (x + 1) = 2log 12
    2log x(x + 1) = 2log 12
    x(x + 1) = 12
    x2 + x - 12 = 0
    (x + 4)(x - 3) = 0
    x = -4 atau x = 3

    Hasil ini harus diuji pada numerus bentuk-bentuk logaritma yaitu: 2log x dan 2log (x + 1)

    Untuk x = -4 diperoleh 2log -4 dan 2log (-4 + 1) tidak terdefinisi
    Untuk x = 3 diperoleh 2log 3 dan 2log (3 + 1) terdefinisi

    Jadi himpunan penyelesaiannya {3}

    Akan tetapi kalau soal mula-mula adalah :
    2log x(x + 1) = 2log 12

    Maka hasil x = -4 dan x = 3 merupakan penyelesaian, karena syarat numerus harus positif terpenuhi.
  2. Pada contoh ini bilangan pokok logaritma berbeda. Dengan sifat :
    alog b = nlog b : nlog a maka ruas kanan dapat diubah sebagai berikut:

    2log (x+1) = 4log (5x + 1)
    2log (x+1) = 2log (5x + 1) : 2log 4
    2log (x+1) = 2log (5x + 1) : 2
    2log (x+1)2 = 2log (5x + 1)
    (x+1)2 = (5x + 1)
    x2 + 2x + 1 = (5x + 1)
    x2- 3x = 0
    Dengan cara memfaktokan diperoleh x = 0 atau x = 3

    Karena keduanya memenuhi syarat numerus maka himpunan penyelesaiannya adalah {0, 3}

0 komentar:

Poskan Komentar