Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang peubahnya merupakan merupakan numerus atau bilangan pokok logaritma.

Contoh : Tentukan semua x yang memenuhi persamaan ²log x = 3

Jawab :

Dari definisi logaritma kita dapatkan
²log x = 3 ⟺ 2³= x
Jadi x = 2³

Dengan cara lain kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk logaritma dengan bilangan pokok yang sama dengan bilangan pokok ruas kiri yaitu:

²log x = 3 ⟺ ²log x = ²log 2³

Dari cara pertama diperoleh x = 2³. Sehingga kita sesuikan dengan bentuk terakhir kita dapat menghapus tanda logaritma.

Secara umum kita hal diatas dapat dituliskan :

Jika ^alog f(x) = ^alog p dengan syarat a > 0 ; a ≠ 1 maka f(x) = p dengan syarat f(x) > 0

Jadi untuk menyelesaikan persamaan logaritma kita berusaha membuat bentuk ruas kanan dan ruas kiri dalam logaritma dengan bilangan pokok yang sama.

Contoh

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari

1. ²log x + ²log (x + 1) = ²log 12
2. ²log (x+1) = ⁴log (5x + 1)

Jawab :

1. ²log x + ²log (x + 1) = ²log 12
   ²log x(x + 1) = ²log 12
   x(x + 1) = 12
   x² + x - 12 = 0
   (x + 4)(x - 3) = 0
   x = -4 atau x = 3
   
   Hasil ini harus diuji pada numerus bentuk-bentuk logaritma yaitu: ²log x dan ²log (x + 1)
   
   Untuk x = -4 diperoleh ²log -4 dan ²log (-4 + 1) tidak terdefinisi
   Untuk x = 3 diperoleh ²log 3 dan ²log (3 + 1) terdefinisi
   
   Jadi himpunan penyelesaiannya {3}
   
   Akan tetapi kalau soal mula-mula adalah :
   ²log x(x + 1) = ²log 12
   
   Maka hasil x = -4 dan x = 3 merupakan penyelesaian, karena syarat numerus harus positif terpenuhi.
   
2. Pada contoh ini bilangan pokok logaritma berbeda. Dengan sifat :
   ^alog b = ⁿlog b : ⁿlog a maka ruas kanan dapat diubah sebagai berikut:
   
   ²log (x+1) = ⁴log (5x + 1)
   ²log (x+1) = ²log (5x + 1) : ²log 4
   ²log (x+1) = ²log (5x + 1) : 2
   ²log (x+1)² = ²log (5x + 1)
   (x+1)² = (5x + 1)
   x² + 2x + 1 = (5x + 1)
   x²- 3x = 0
   Dengan cara memfaktokan diperoleh x = 0 atau x = 3
   
   Karena keduanya memenuhi syarat numerus maka himpunan penyelesaiannya adalah {0, 3}

Persamaan Kuadrat

Perhatikan beberapa persamaan berikut ini:

1. x² - 4 = 0
2. x² - 16x = 0
3. x² - 7x + 12 = 0
4. 2x² - 3x + 1 = 0

Pada setiap persamaan diatas, hanya memuat bentuk x² sebagai variabel pangkat yang paling tinggi. Bentuk persamaan seperti itu dinamakan persamaan kuadrat dalam x atau persamaan berderajat dua dalam peubah / variabel x. Dengan demikian persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk umum yaitu:

ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c, ∈ R dan a ≠ 0

a disebut koefisien x², b koefisien x dan c merupakan konstanta.

Sebagai contoh perhatikan persamaan kuadrat di bawah ini:

• x² - 4 = 0 ; a = 1, b = 0, c = -4
• x² - 16x = 0 ; a = 1, b = 16, c = 0
• x² - 7x + 12 = 0 ; a = 1, b = -7, c = 12
• 2x² - 3x + 1 = 0 ; a = 2, b = -3, c = 1

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat peubah. Contoh :
4^x - 2^x - 6 = 0
2^3x-2 = 128

Persamaan eksponen berbentuk a^p = a^q

Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan a^p = a^q maka p = q

Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

1. 2^3x-2 = 128
2. 5^{x2 + 6x - 42} = 3125 ^{12 - x}
3. 4^2x - 18^x + 4 = 0

Jawab :

1. 2^3x-2 = 128
   2^3x-2 = 2⁷
   3x - 2 = 7
   3x = 9
   x = 3
   
2. 5^{x2 + 6x - 42} = 3125 ^{12 - x}
   5^{x2 + 6x - 42} = 5^{5(12 - x)}
   x² + 6x - 42 = 5(12 - x)
   x² + 6x - 42 = 60 - 5x
   x² + 11x - 102 = 0
   (x + 17)(x - 6) = 0
   x = -17 atau x = 6
   
3. 4^2x - 18^x + 4 = 0
   Untuk menyelesaikan persamaan diatas kita misalkan a = 2^x sehingga :
   4^2x - 18^x + 4 = 0
   2.2^2x - 9.2 ^x + 4 = 0
   2.(2^x)² - 9.2^x + 4 = 0
   2a² - 9a + 4 = 0
   (2a - 1)(a - 4) = 0
   a = ½ atau a = 4
   
   Untuk a = ½
   2^x = ½
   2^x = 2^-1
   x = -1
   
   Untuk a = 4
   2^x = 4
   2^x = 2²
   x = 2
   
   Jadi Hp = {-1, 2}
   

Persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b ^f(x)

Bilangan pokok ruas kiri tidak sama dengan bilangan pokok ruas kanan, sedangkan pangkat ruas kiri sama dengan pangkat ruas kanan. Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan jika pangkatnya nol (0).

Jika a^f(x) = b ^f(x) maka f(x) = 0
dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

Contoh : Carilah semua x yang memenuhi 25.5 ^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}

Jawab :

25.5^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}
5². 5^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}
5^{2x - 5 +2} = 3 ^{2x - 3}
5^{2x - 3} = 3^{2x - 3}
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Persamaan eksponen berbentuk (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus melihat semua kemungkinan yaitu :

• Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
• Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))^g(x) ≠ 0. Maka kita dapat membagi kedua ruas dengan (h(x))^g(x) sehingga menjadi:
  (h(x))^f(x) : (h(x))^g(x) = (h(x))^g(x) : (h(x))^g(x)
  (h(x))^{f(x) - g(x)} = 1
  Dari bentuk terakhir ini dapat dipenui kemungkinan berikut
  • Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
  • Jika h(x) = -1 maka f(x) - g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) - g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  • Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Dengan demikian dapat disimpulkan :

Penyelesaian persamaan (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x) adalah semua x yang memenuhi persamaan:

1. h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
2. h(x) = 1
3. h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
4. h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x - 5)^{x2 - 4} = (x - 5)^{2 - x}

Jawab :

1. h(x) = 0 ⟺ x - 5 = 0 ⟺ x = 5
   Syarat x² - 4 > 0 dan 2 - x > 0
   
   Substitusikan x - 5
   5² - 4 > 0 dan 2 - 5 > 0 (tidak memenuhi)
   Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.
   
2. h(x) = 1 ⟺ x - 5 = 1 ⟺ x = 6
   Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.
   
3. h(x) = -1 ⟺ x - 5 = -1 ⟺ x = 4
   
   Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
   4² - 4 = genap dan 2 - 4 = genap
   Karena keduanya genap maka x - 4 merupakan himpuna penyeelesaian.
   
4. f(x) = g(x) ⟺ x² - 4 = 2 - x
   ⟺ x² + x - 6 = 0
   ⟺ (x + 3)(x - 2) = 0
   ⟺ x = -3 atau x = 2
   Setelah disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
   Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah {-3, 2, 4, 6}

Rumus Perkalian Sinus da Kosinus

2 sin a . cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a . sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
-2 cos a . cos b = cos (a + b) - cos (a - b)

Pembuktian:

Kita sudah tahu bahwa rumus jumlah dan selisih dua sudut yaitu :

1. sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
2. sin (a - b) = sin a . cos b - cos a . sin b
3. cos (a + b) = cos a . cos b - sin a . sin b
4. cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b

Dari rumus 1 dan 2 diperoleh :

sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
sin (a - b) = sin a . cos b - cos a . sin b +

---

sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a . cos b

Jadi diperoleh rumus 2 sin a . cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

sin (a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
sin (a - b) = sin a . cos b - cos a . sin b -

---

sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos a . sin b

Jadi diperoleh rumus 2 cos a . sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

Dari rumus 3 dan 4 diperoleh :

cos (a + b) = cos a . cos b - sin a . sin b
cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b +

---

cos (a + b) + cos (a - b) = 2 cos a . cos b

Jadi diperoleh rumus 2 cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

cos (a + b) = cos a . cos b - sin a . sin b
cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b -

---

cos (a + b) - cos (a - b) = -2 cos a . cos b

Jadi diperoleh rumus -2 cos a . cos b = cos (a + b) - cos (a - b)

Menyusun persamaan kuadrat

Kita ketahui bahwa salah satu cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan memfaktorkan. Jika kita balik mengerjakannya dari akhir dan misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah x₁ dan q maka :

x₁ atau x₂
x - x₁ = 0 atau x - x₂ = 0
(x - x₁) (x - x₂) = 0
x² - (x₁.x) - (x_2.x) + (x₁.x₂) = 0
x² - (x₁.x + x₂.x) + (x₁.x₂) = 0
x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

Jadi kita dapat menyusun persamaan kuadrat bila akar-akarnya diketahui x₁ dan x₂ dengan rumus:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

Berdasarkan bentuk persamaan kuadrat :

sehingga diperoleh rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat yaitu :

Contoh 1

Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya 4 dan -1!

Jawab :

Diketahui x₁= 4 dan x₂= -1
x₁+ x₂= 3
x₁+ x₂= -4

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0
x² - 3x - 4 = 0

Contoh 2

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar-akar
x² + 8x - 30 = 0

Jawab :

1. Cara I
   Misalkan salah satu akar persamanaan kuadrat yang baru adalah y, maka y = x - 3(akar baru tiga kurangnya dari akar sebelumnya), x = y + 3. Kita substitusikan nilai x = y + 3 ke dalam persamaan x² - 8x - 30 = 0 menjadi :
   (y + 3)² + 8 (y + 3) - 30 = 0
   y² + 14y + 3 = 0 , dalam bentuk x menjadi :
   x² + 14x + 3 = 0
   
2. Cara II
   Dari persamaan x² + 8x - 30 = 0 kita mendapat
   x₁ + x₂ = -8
   x₁.x₂ = -30
   
   Jumlah akar- akar yang baru adalah:
   =(x₁-3) + (x₂-3)
   = x₁ + x₂- 6
   = -8 -6
   = -14
   
   Hasil kali akar-akar yang baru adalah:
   = (x₁-3).(x₂-3)
   = x₁.x₂ - 3(x₁ + x₂) + 9
   = -30 - 3(-8) + 9
   = 3
   
   Jadi persamaan kuadrat baru adalah
   

   ⟹ x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0
   ⟹ x² + 14x + 3 = 0

Membentuk fungsi kuadrat

Kita dapat membentuk fungsi kuadrat dari unsur unsur fungsi kuadrat tersebut seperti pasangan titik, akar-akarnya, diskriminan, titik balik atau sumbu simetri.

1. Menentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik pada (p,q) dengan rumus :
   
   y = a (x - p)² + q
   
   Contoh :
   Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik P(1, 5) dan memotong sumbu x di titik (2, 0)
   
   Jawab :
   y = a (x - p)² + q
   y = a (x - 1)² + 5
   memotong sumbu x di (2,0)
   0 = a (2 - 1)² + 5
   0 = a . 1 + 5
   a = -5
   jadi fungsi kuadrat tersebut adalah :
   y = -5(x - 1+ 5
   y = -5(x ² - 2x +1) + 5
   y = -5x ² + 10x -5 + 5
   y = -5x ² + 10x
   
2. Menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik potong sumbu x di (α, 0) dan (β, 0) dengan rumus :
   y = a(x - α)(x - β)
   Contoh :
   Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-3, 0) dan (2, 0) dan melalui titik (0, -6)
   Jawab :
   y = a(x - α)(x - β)
   y = a(x - (-3))(x - 2)
   y = a(x + 3)(x - 2)
   
   Melalui (0, -4) ⟹ -6 = a(0 +3)(0 - 2)
   -6 = a . 3 . -2
   -6 = -6a
   a = 1
   Jadi persamaannya:
   y = 1(x + 3)(x - 2)
   y = x² + x - 6
3. Mementukan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sembarang dengan rumus :
   y = ax² + bx + c
   
   Contoh :
   Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui (0,2), (2,0) dan (4,0)
   
   Jawab :
   y = ax² + bx + c
   
   melalui (0, 2)⟹ y = ax² + bx + c
   2 = 0 + 0 + c
   c = 2
   
   melalui (2, 0)⟹ y = ax² + bx + c
   0 = 4a + 2b + 2
   
   melalui (4, 0)⟹ y = ax² + bx + c
   0 = 16a + 4b + 2
   0 = 8a + 2b + 1
   
   Elminasi :
   0 = 8a + 2b + 1
   0 = 4a + 2b + 2 -

   ---

   0 = 4a - 1
   -4a = -1
   a = ¼
   
   Substitusi : a = ¼ maka didapat b = -3/2
   
   Jadi fungsi kuadrat itu :
   
   
   

Logaritma

Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan

a^c = b → ^alog b = c dengan a > 0, a ≠ 1, dan b > 0

a = bilangan pokok
b = hasil pemangkatan
c = hasil logaritma

Logaritma dengan bilangan pokok 10, bilangan pokoknya tidak ditulis, misalnya

¹⁰log 3 ditulis log 3
¹⁰log 100 ditulis log 100
¹⁰log 0,1 ditulis log 0,1

Sifat-Sifat Logaritma

^a log a = 1

^a log aⁿ = n

^a log 1 = 0

^g log (a x b) = ^g log a + ^g log b

^a log b x ^b log c = ^a log c

Kelipatan dan Faktor

Kelipatan

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan tersebut dengan bilangan cacah. Misalnya :

Himpunan kelipatan 3 = { 3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, ...}
atau { 0, 3, 6, 9, ...}

Himpunan kelipatan 5= { 5 x 0, 5 x 1, 5 x 2, 5 x 3, ...}
atau { 0, 5, 10, 15, ...}

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

KPK dari dua buah bilangan atau lebih adalah bilangan bukan nol (0) yang merupakan anggota terkecil dari himpunan kelipatan persekutuan bilangan-bilangan itu.

Contoh : Tentukan KPK dari 5 dan 6!

Jawab :

Himpunan kelipatan 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
Himpunan kelipatan 6 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
Himpunan kelipatan persekutuan = {0, 30}

Jadi KPK dari 5 dan 6 = 30

Faktor

Faktor adalah bilangan asli yang membagi habis suatu bilangan.

Contoh :

Faktor dari 9 adalah 1, 3 dan 9.
Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, dan 20.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

FPB dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan terbesar dari faktor-faktor persekutuan bilangan-bilangan itu.

Contoh : Tentukan FPB dari 6 dan 12

Jawab :

Faktor dari 6 = {1, 2, 3, 6}
Faktor dari 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Jadi FPB dari 6 dan 12 = 6

Akar Persamaan Kuadrat

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah :

dan

Dari rumus diatas didapat:

1. Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat
   
   
   
   
   
   
   
   
   
2. Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
   
   
   
   
   
   
   

Jumlah dan Selisih Trigonometri

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

Pembuktian:

Rumus penjumlahan dan pengurangan merupakan bentuk lain dari rumus perkalian sinus dan kosinus

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α . cos β

sin (α + β) - sin (α - β) = 2 cos α. sin β

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α . cos β

cos (α + β) - cos (α - β) = -2 cos α . cos β

Misalkan α + β = a dan α - β = b maka:

α + β = a

α - β = b +

---

α = 1/2(a + b)


α + β = a

α - β = b -

---

β = 1/2(a - b)

Sehingga rumus jumlah da selisih sinus dan kosinus menjadi :

sin a + sin b = 2 sin 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

sin a - sin b = 2 cos 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

cos a + cos b = 2 cos 1/2(a + b) . cos 1/2(a - b)

cos a - cos b = -2 sin 1/2(a + b) . sin 1/2(a - b)

Contoh :
Tentukan nilai dari:

a. cos 75⁰ + cos 15⁰

b. sin 75 ⁰ + sin 15⁰

Jawaban :

a. cos 75⁰ + cos 15⁰ = 2 cos ½(75⁰+15⁰) . cos ½(75⁰-15⁰)

= 2 cos 45⁰. cos 30⁰

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

b. sin 75⁰ + sin 15⁰ = 2 sin ½(75⁰+15⁰) . cos ½(75⁰-15⁰)

= 2 sin 45⁰. cos 30⁰

= 2 . ½√2. ½√3

= ½√6

Jarak

Yang dimaksud dengan jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.

Jika G1 dan G2 adalah bangun bangun geometri, maka G1 dan G2 sebagai himpunan titik-titik, sehingga dapat dilakukan pemasangan antara titik-titik pada G1 dan G2.

Karena ruas garis AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak antara bangun G1 dan G2

1. Jarak titik dan titik
   
   
   
   Jarak antara dua buah titik A dan B adalah ruas garis AB
   
   
2. Jarak titik dan garis
   
   Perhatikan titik penalti terhadap garis gawang.
   
   
   
   Jarak titik P terhadap garis adalah ruas garis penghubung titik P dengan proyeksinya pada garis AB yaitu garis PP'
   


3. Jarak titik dan bidang
   
   
   
   Jarak titik P terhadap bidang α adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi titik P pada bidang α yaitu PP'
   
   Contoh :
   
   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Hitunglah!
   
   
   
   a. Jarak E ke C
   
   b. Jarak E ke O
   
   c. Jarak O ke DCGH
   
   d. Jarak O ke FG
   
   e. Jarak C ke AH
   
   
   
   Jawab :
   
   
   
   a. Jarak E ke C = EC = 6√3 cm
   
   b. Jarak E ke O = EO
   
   
   
   
   
   
   c. Jarak O ke DCGH = OP = 1/2 . AD = 3 cm
   
   d. Jarak O ke FG
   
   Bidang yang memuat titik O dan garis FG adalah ∆OFG.
   
   
   
   Jarak O ke FG adalah OQ
   
   
   
   
   
   
   
   e. Bidang yang memuat titik C dan garis AH adalah ∆ACH
   
   
   
   
   Jarak C ke AH adalah CI
   
   
   
   
   
   
   
   


4. Jarak antara dua garis sejajar
   
   Jarak antara dua garis sejajar adalah ruas garis yang tegak lurus dengan kedua garis tersebut
   
   
   
   Garis PQ merupakan jarak antara k dan l
   


5. Jarak antara dua garis bersilang
   
   Jarak dua garis bersilang k dan l adalah ruas garis penghubung terpendek antara dua buah titik di garis k dan l, dimana garis penghubung itu tegak lurus dengan garis k dan l.
   
   
   
   Jarak antara garis k dan garis l adalah garis PQ
   


6. Jarak antara garis dan bidang sejajar
   
   Jarak antara garis l dengan bidang α yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada garis g terhadap bidang α
   
   
   
   Jarak antara titik p dengan bidang α adalah garis PP'
   
   
   
   


7. Jarak antara dua bidang sejajar
   
   Jarak antara bidang K dan bidang L yang sejajar sama dengan jarak salah satu titik pada bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya.
   
   
   
   Jarak antara bidang ADHE dan bidang BCGF adalah ruas garis PP' = QQ'
   

Fungsi Kuadrat

Fungsi x pada himpunan R yang ditentukan oleh f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, c ∈R dan a ≠ 0, dinamakan fungsi kuadrat. Grafiknya berbentuk parabola.

Menggambar grafik fungsi kuadrat

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c adalah berupa parabola. Perlu diingat bahwa penulisan f(x) = ax² + bx + c dapat ditulis y = ax² + bx + c.

Untuk menggambar grafik y = ax² + bx + c, kita dapat melakukan langkah-langkah berikut:

• Menentukan titik potong grafik di sumbu x (akar-akar persamaan kuadrat)
• Menentukan persamaan sumbu simetri:
  
  
• Menentukan titik puncak parabola
  
  Puncak parabola merupakan pasangan berurutan dari sumbu simetri dengan nilai ekstrim (Nilai absolut / Nilai Mutlak)

Ciri-ciri parabola y = ax² + bx + c, dari tanda-tanda a, b, c, dan D

1. Apabila a > 0 maka parabola terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum)
   Apabila a <>
2. Apabila tanda b sama dengan tanda a, maka puncak parabola berada di sebelah kiri sumbu y
   Apabila b = 0, puncak parabola terletak pada sumbu y
   Apabila a berlawanan dengan b , maka puncak parabola berada di sebelah kanan sumbu y
3. Apabila c > 0, maka parabola memotong sumbu y positif
   Apabila c = 0, maka parabola melalui pusat koordinat
   Apabila c <>
4. Apabila D > 0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik
   Apabila D = 0 maka parabola memotong sumbu x di satu titik
   Apabila D > 0 maka parabola tidak memotong sumbu x

Sketsa grafik fungsi kuadrat: