Deret Geometri Tak Hingga

Misalkan selembar kertas berbentuk segiempat dibagi menjadi 2 dan salah satu bagiannya dibagi lagi menjadi 2 bagian. Bagian ini dibagi lagi menjadi 2 dan begitu seterusnya seperti gambar berikut ini:

Secara teoritis pembagian ini dapat dilakukan berulang kali sampai tak hingga kali. Pada pembagian pertama diperoleh setengah bagian, yang kedua seperempat bagian, yang ketiga seperdelapan bagian dan seterusnya sampai tak hingga kali. Tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagian sampai tak hingga kali tetap = kertas semula (1 bagian). Hasil ini dapat dituliskan:

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya (n) tak hingga. Kita telah mengetahui bahwa untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus:

Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk n → ∞ sebagai berikut:

1. Untuk r > 1 atau r < -1 Oleh karena r > 1 atau r < -1 maka nilai rⁿ akan semakin besar jika n makin besar. Dalam hal ini,
   Untuk r > 1 dan n → ∞ maka rⁿ→ ∞
   Untuk r < -1 dan n → ∞ maka rⁿ→ -∞.
   Sehingga diperoleh
   
   
   
   Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 disebut deret divergen (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecendrungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu deret ini tidah memilik limit jumlah
2. Untuk -1 <>n akan semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini untuk n → ∞ maka rⁿ→ 0. Sehingga diperoleh
   
   
   
   Deret geometri tak hingga dengan -1 <>

Contoh

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut.

Berdasarkan deret tersebut dapat kita ketahui a = 2 dan r = 1/3. Dengan demikian,

Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 3