Menyusun persamaan kuadrat

Kita ketahui bahwa salah satu cara untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan memfaktorkan. Jika kita balik mengerjakannya dari akhir dan misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah x₁ dan q maka :

x₁ atau x₂
x - x₁ = 0 atau x - x₂ = 0
(x - x₁) (x - x₂) = 0
x² - (x₁.x) - (x_2.x) + (x₁.x₂) = 0
x² - (x₁.x + x₂.x) + (x₁.x₂) = 0
x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

Jadi kita dapat menyusun persamaan kuadrat bila akar-akarnya diketahui x₁ dan x₂ dengan rumus:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0

Berdasarkan bentuk persamaan kuadrat :

sehingga diperoleh rumus jumlah dan hasil kali persamaan kuadrat yaitu :

Contoh 1

Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya 4 dan -1!

Jawab :

Diketahui x₁= 4 dan x₂= -1
x₁+ x₂= 3
x₁+ x₂= -4

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0
x² - 3x - 4 = 0

Contoh 2

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar-akar
x² + 8x - 30 = 0

Jawab :

1. Cara I
   Misalkan salah satu akar persamanaan kuadrat yang baru adalah y, maka y = x - 3(akar baru tiga kurangnya dari akar sebelumnya), x = y + 3. Kita substitusikan nilai x = y + 3 ke dalam persamaan x² - 8x - 30 = 0 menjadi :
   (y + 3)² + 8 (y + 3) - 30 = 0
   y² + 14y + 3 = 0 , dalam bentuk x menjadi :
   x² + 14x + 3 = 0
   
2. Cara II
   Dari persamaan x² + 8x - 30 = 0 kita mendapat
   x₁ + x₂ = -8
   x₁.x₂ = -30
   
   Jumlah akar- akar yang baru adalah:
   =(x₁-3) + (x₂-3)
   = x₁ + x₂- 6
   = -8 -6
   = -14
   
   Hasil kali akar-akar yang baru adalah:
   = (x₁-3).(x₂-3)
   = x₁.x₂ - 3(x₁ + x₂) + 9
   = -30 - 3(-8) + 9
   = 3
   
   Jadi persamaan kuadrat baru adalah
   

   ⟹ x² - (x₁ + x₂)x + (x₁.x₂) = 0
   ⟹ x² + 14x + 3 = 0