Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat peubah. Contoh :
4^x - 2^x - 6 = 0
2^3x-2 = 128

Persamaan eksponen berbentuk a^p = a^q

Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan a^p = a^q maka p = q

Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

1. 2^3x-2 = 128
2. 5^{x2 + 6x - 42} = 3125 ^{12 - x}
3. 4^2x - 18^x + 4 = 0

Jawab :

1. 2^3x-2 = 128
   2^3x-2 = 2⁷
   3x - 2 = 7
   3x = 9
   x = 3
   
2. 5^{x2 + 6x - 42} = 3125 ^{12 - x}
   5^{x2 + 6x - 42} = 5^{5(12 - x)}
   x² + 6x - 42 = 5(12 - x)
   x² + 6x - 42 = 60 - 5x
   x² + 11x - 102 = 0
   (x + 17)(x - 6) = 0
   x = -17 atau x = 6
   
3. 4^2x - 18^x + 4 = 0
   Untuk menyelesaikan persamaan diatas kita misalkan a = 2^x sehingga :
   4^2x - 18^x + 4 = 0
   2.2^2x - 9.2 ^x + 4 = 0
   2.(2^x)² - 9.2^x + 4 = 0
   2a² - 9a + 4 = 0
   (2a - 1)(a - 4) = 0
   a = ½ atau a = 4
   
   Untuk a = ½
   2^x = ½
   2^x = 2^-1
   x = -1
   
   Untuk a = 4
   2^x = 4
   2^x = 2²
   x = 2
   
   Jadi Hp = {-1, 2}
   

Persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b ^f(x)

Bilangan pokok ruas kiri tidak sama dengan bilangan pokok ruas kanan, sedangkan pangkat ruas kiri sama dengan pangkat ruas kanan. Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan jika pangkatnya nol (0).

Jika a^f(x) = b ^f(x) maka f(x) = 0
dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

Contoh : Carilah semua x yang memenuhi 25.5 ^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}

Jawab :

25.5^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}
5². 5^{2x - 5} = 3 ^{2x - 3}
5^{2x - 5 +2} = 3 ^{2x - 3}
5^{2x - 3} = 3^{2x - 3}
2x - 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Persamaan eksponen berbentuk (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus melihat semua kemungkinan yaitu :

• Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
• Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))^g(x) ≠ 0. Maka kita dapat membagi kedua ruas dengan (h(x))^g(x) sehingga menjadi:
  (h(x))^f(x) : (h(x))^g(x) = (h(x))^g(x) : (h(x))^g(x)
  (h(x))^{f(x) - g(x)} = 1
  Dari bentuk terakhir ini dapat dipenui kemungkinan berikut
  • Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
  • Jika h(x) = -1 maka f(x) - g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) - g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
  • Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Dengan demikian dapat disimpulkan :

Penyelesaian persamaan (h(x))^f(x) = (h(x))^g(x) adalah semua x yang memenuhi persamaan:

1. h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
2. h(x) = 1
3. h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
4. h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x - 5)^{x2 - 4} = (x - 5)^{2 - x}

Jawab :

1. h(x) = 0 ⟺ x - 5 = 0 ⟺ x = 5
   Syarat x² - 4 > 0 dan 2 - x > 0
   
   Substitusikan x - 5
   5² - 4 > 0 dan 2 - 5 > 0 (tidak memenuhi)
   Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.
   
2. h(x) = 1 ⟺ x - 5 = 1 ⟺ x = 6
   Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.
   
3. h(x) = -1 ⟺ x - 5 = -1 ⟺ x = 4
   
   Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
   4² - 4 = genap dan 2 - 4 = genap
   Karena keduanya genap maka x - 4 merupakan himpuna penyeelesaian.
   
4. f(x) = g(x) ⟺ x² - 4 = 2 - x
   ⟺ x² + x - 6 = 0
   ⟺ (x + 3)(x - 2) = 0
   ⟺ x = -3 atau x = 2
   Setelah disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
   Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah {-3, 2, 4, 6}